\section{扩张圆周映射}
\subsection{定义}
考虑紧致度量空间$(X,d)$上的一个连续映射$f \colon X \to X$.
\begin{defn}
称$f$为\emph{扩张}映射，如果存在常数$\lambda > 1$与$\delta > 0$使得对于任意$x,y \in X$，有
\begin{equation}
\label{eq:expanding}
d(x,y) < \delta \Rightarrow d(f(x), f(y)) \geq \lambda d(x,y).
\end{equation}
\end{defn}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item
定义中对调量词“存在$\lambda$”与“对于任意$x,y$”的顺序是否仍然是同一概念？
\item
定义中可否将\eqref{eq:expanding}中的不等号$\geq$替换成$>$？
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exa}
考虑单位圆周$\T = \R/\Z$.
将$\T$视作阿贝尔群，即$\Z$-模.
对于$m \in \Z$, 定义映射$E_m \colon \T \to \T$为乘$m$映射.
当$\abs{m} \geq 2$时，$E_m$为扩张映射.
\end{exa}

\begin{prop}
假设$X$是一个紧致黎曼流形.
则对于$C^1$映射$f \colon X \to X$，下面条件等价：
\begin{enumerate}
\item $f$是扩张映射.
\item 存在$\lambda > 1$, 使得对于任意$x \in X$, 有
\begin{equation}
\label{eq:C1expand}
\forall v \in T_x X,\quad \norm{D_xf (v)} \geq \lambda \norm{v}.
\end{equation}
\item 对于任意$x \in X$,
\[
\forall v \in T_x X \setminus\{0\},\quad \norm{D_xf (v)} > \norm{v}.
\]
\end{enumerate}
\end{prop}

这里黎曼流形的意思是$X$除了是一个光滑流形, 上面还有一个光滑映射$\norm{\cdot} \colon TX \to \R$满足，限制在每个切空间$T_x X$上，$\norm{\cdot}$是一个欧式范数。
黎曼流形上有黎曼距离。
它的定义如下。
首先将连续分段连续可微映射$\gamma \colon {[0,t_0]} \to X$称作\emph{路径}，$\gamma(0)$与$\gamma(t_0)$称作该路径的两个端点，将一个路径的长度定义为
\[
\length(\gamma) = \int_0^{t_0} \norm{\gamma'(t)} \dd t.
\]
然后对于点$x,y \in X$, 定义
\[
d(x,y) = \inf_{\gamma}\, \length(\gamma).
\]
其中$\gamma$取遍所有端点为$x$和$y$的路径.
可以验证，黎曼距离诱导的拓扑就是流形的拓扑。

\begin{proof}
\emph{(iii) $\Rightarrow$ (ii)：}考虑单位切丛
\[
T^1X = \{(x,v) \in TX : \norm{v} = 1 \}.
\]
单位切丛是紧致的。
并且$T^1 X \to \R$, $(x,v) \mapsto \norm{D_x f (v)}$是连续的。
故此映射的像是紧致的。

\emph{(i) $\Rightarrow$ (iii)：}

\emph{(ii) $\Rightarrow$ (i)：}观察到若我们可以将一条端点为$f(x)$和$f(y)$的路径$\gamma \colon [0,t_0] \to X$写成$\gamma = f \circ \tilde\gamma$且$\tilde\gamma$端点为$x$和$y$，则有
\begin{align*}
\length(\gamma) & = \int_0^{t_0} \norm{(f \circ \tilde\gamma)'(t)} \dd t\\
& = \int_0^{t_0} \norm{D_{\tilde\gamma(t)} f (\tilde\gamma'(t))} \dd t\\
& \geq \lambda \int_0^{t_0} \norm{\tilde\gamma'(t))} \dd t\\
& = \lambda \length(\tilde\gamma)\\
& \geq \lambda d(x,y)
\end{align*}
因此，只须找到$\delta > 0$, $\delta_1 > 0$, 使得对于任意$x,y \in X$, $d(x,y) < \delta$蕴含$d(f(x),f(y)) < \delta_1 / 2$,
并且，任意长度小于$\delta_1$连接$f(x)$与$f(y)$的路径$\gamma$都可以写成上述$f \circ \tilde\gamma$的形式.

注意到由(ii)得$\forall z \in X$, $D_z f$可逆,
遂由隐函数定理可得$z$的开邻域$V_z$使得$f(V_z)$是开集且$f_{\mid V_z} \colon V_z \to f(V_z)$是$C^1$微分同胚.
由$d(f(z), X \setminus f(V_z)) > 0$与连续性得常数$\delta_1(z) > 0$与开邻域$z \in U_z \subset V_z$使得$d(f(U_z), X \setminus f(V_z)) > \delta_1(z)$.
根据紧致性，取开覆盖$(U_z)_{z \in X}$的一个有限自子覆盖$(U_{z_i})_{1 \leq i \leq n}$.
取$\delta_1 = \min\{\delta_1(z_1), \dotsc \delta_1(z_n)\} > 0$.
取$\delta > 0$足够小使得对于任意$x \in X$, 有$d(f(x),f(y)) < \delta_1$, 且存在$i$，使得$B(x,\delta) \subset U_{z_i}$.
现在，对于任意$y \in B(y,\delta)$, 有$f(x), f(y) \in f(U_{z_i})$,
故任意长度小于$\delta_1$连接$f(x)$与$f(y)$的路径$\gamma$都无法离开$f(V_{z_i})$，所以可以利用$f_{\mid V_{z_i}}$拉回$\gamma$至$\tilde\gamma = f_{\mid V_{z_i}}^{-1} \circ \gamma$.

\end{proof}

\begin{exo}
如果$X$不紧致，此定理是否仍然成立？
\end{exo}

\subsection{圆周映射的度数}
考虑连续圆周映射$f \colon \T \to \T$.
注意到$\R$是$\T$的万有覆叠.
将此覆叠记做$\pi \colon \R \to \T$.
回顾一下提升的概念.
我们称一个连续映射$F \colon \R \to \T$是$f$的一个\emph{提升}，若$\pi \circ F = f \circ \pi$，即，下图表交换。
\[
\begin{CD}
\R @>F>> \R\\
@VV{\pi}V     @VV{\pi}V\\
\T @>f>> \T
\end{CD}
\]

\begin{defn}
令$F \colon \R \to \R$为$f$的一个提升.
则$F(x + 1) - F(x)$为一个整数并且与$x \in \R$和提升的选取无关.
将其称作$f$的度，记作$\deg(f)$.
\end{defn}

\begin{proof}
\end{proof}

性质与例子
\begin{enumerate}
\item $\deg \colon C^0(\T,\T) \to \Z$是一个乘法同态，即，对于任意$f,g \in C^0(\T,\T)$, 有$\deg(f \circ g) = \deg(f) \deg(g)$.
\item $\deg$是连续的，所以局部常数. 这里, 赋予$C^0(\T,\T)$一致拓扑，又称$C^0$拓扑.
\item $\deg$是拓扑不变量.
\item $\deg(E_m) = m$.
\item 若$f$是扩张映射，则$\abs{\deg(f)} \geq 2$. 另外，$f$有$\abs{\deg(f) - 1}$个不动点; 每个点都有$\abs{\deg(f)}$个原像.
\end{enumerate}

\begin{proof}
\end{proof}

\begin{ex}
证明上述关于不动点与原像个数的叙述, 去掉扩张映射的条件仍有一个方向的不等号成立.
\end{ex}

\subsection{扩张圆周映射的拓扑分类}
\begin{thm}
\label{thm:expandingCircle}
令$f \colon \T \to \T$为扩张映射，则$f$与$E_{\deg(f)}$拓扑共轭.
更多的, 如果$f$在$C^0$拓扑下足够靠近$E_{\deg(f)}$, 则可以找到靠近$\id_\T$的同胚$h \colon \T \to \T$使得$h \circ f = E \circ h$.
\end{thm}
设$\lambda$为扩张映射定义中的常数.
令$F\colon \R \to \R$为$f$的一个提升.
\begin{lem}
下面二者必有其一：
\begin{enumerate}
\item $\forall x, y \in \R$, $x < y$蕴含$F(y) \geq F(x) + \lambda (y-x)$.
\item $\forall x, y \in \R$, $x < y$蕴含$F(y) \leq F(x) - \lambda (y-x)$.
\end{enumerate}
特别地, 对任意$x,y \in \R$,
\[
\abs{F(x) - F(y)} \geq \lambda\abs{x - y}.
\]
并且$F$是$\R$的同胚, 且其逆映射$\lambda^{-1}$-Lipschitz.
\end{lem}
注意到满足(i)的$f$保定向, 且$\deg(f) \geq 2$.
\begin{proof}[引理的证明]
\end{proof}

\begin{proof}[定理\ref{thm:expandingCircle}的证明]

\end{proof}

\begin{rmk}
实际上, 我们证明了, 分别选定两个不动点$p_1 \in \Fix(f)$与$p_2 \in \Fix(E_m)$, 有且仅有一个保定向圆周同胚$h$满足$h \circ f = E_m \circ h$且$h(p_1) = p_2$.
\end{rmk}


我们可以用不动点的方法给出不同的证明.
首先回顾一下不动点定理：
\begin{thm}
完备度量空间上的压缩映射具有唯一的不动点.
并且任意迭代轨道都以指数速度收敛至不动点.
\end{thm}



\begin{prop}
设$f_1$与$f_2$为两个$\deg$都为$m$的扩张圆周映射.
分别选定两个不动点$p_i \in \Fix(F_i)$, $i = 1, 2$.
则存在唯一连续映射$h \colon \T \to \T$, 满足$\deg(h) = 1$, $h(p_1) = p_2$, 且
\[
f_2 \circ h = h \circ f_1.
\]
\end{prop}
\begin{proof}
选定$\tilde p_i \in \R$使得$\pi(\tilde p_i) = p_i$.
则有$f_i$的提升$F_i \colon \R \to \R$使得$F_i(\tilde p_i) = \tilde p_i$.
我们考虑映射空间
\[
\cC := \set{ H \in \cC^0(\R,\R) : \forall x \in \R, H(x + 1) = H(x) + 1, \text{且} H(\tilde p_1) = \tilde p_2}.
\]
考虑算子$\cF \colon \cC \to \cC$, $H \mapsto F_2^{-1} \circ H \circ F_1$.
\end{proof}


\begin{proof}[定理\ref{thm:expandingCircle}的第二个证明]

\end{proof}

\begin{lem}
设$\abs{m}\geq 2$.
恒同映射$\id_\T$是唯一与$E_m$交换、度数为$1$且固定$0 \in \T$的连续圆周映射.
\end{lem}

\begin{ex}
设$\abs{m}\geq 2$.
找到所有与$E_m$交换且度数为一的连续圆周映射.
\end{ex}

\begin{exo}
定理\ref{thm:expandingCircle}中扩张映射的条件可以弱化吗？
1）不扩张为何不正确？
2）如果假设只在除去有限个点外扩张，在个别点不扩张，此定理是否仍然成立？
\end{exo}

\begin{cor}
设$f$为扩张圆周映射. 则
\begin{enumerate}
\item $f$具有稠密的正向轨道.
\item $\Fix(f)$在圆周上稠密.
\end{enumerate}
\end{cor}

